Vale la pena guardarli

2007-12-15T15:52:00.000+01:00

Secondo voi????

2007-12-10T18:25:00.000+01:00

Leibniz Pitagora Einstein

Turing Pascal Gauss

Studiando sulle dispense di informatica mi sono resa conto che per realizzare quella scatola così complessa su cui in questo momento lavoro per scrivere questo testo, è stato necessario l’ intervento di matematici così intelligenti, ma così intelligenti da rivoluzionare il pensiero di parecchie generazioni!....Se penso solamente alla mia bisnonna che guardando la televisione, credendo di trovare dei piccoli omini nel piccolo schermo, andava a controllare dietro la tv, mi piglia lo sgomento!!!!!

Abbiamo potuto classificare probabilmente alcuni nostri amici più intelligenti di altri; diciamo che il tale ha raggiunto una posizione elevata grazie alla sua intelligenza. E ancora riteniamo che gli uomini siano più intelligenti delle scimmie, che le scimmie a loro volta, siano più intelligenti dei gatti… Uomini intelligenti riconosciuti quasi universalmente sono Einstein, Dante,Gauss, Pitagora, Leonardo da Vinci, Archimede e tanti altri ancora... Tra questi aggiungerei però il nome di Leibniz creatore del sistema di numerazione binario, in cui tutti i numeri possono essere scritti con solo due cifre “0” e “1”.Questo sistema potrebbe sembrare il più semplice di tutti ma è invece estremamente ingegnoso: ha il vantaggio di avere soltanto due simboli per indicare i numeri. Il termine binario viene così chiamato dal latino bis , due volte.

Sfruttando il lavoro di approfondimento che ho voluto svolgere sul tema del sistema di numerazione binaria chiedo a voi: ma alla fine dei conti cosa è l’ intelligenza ??? quale è secondo voi quel “mistero” che rende un azione geniale, unica e creativa allo stesso tempo?????

Logica ?!?!

2007-12-01T19:52:00.000+01:00

LOGICA MATEMATICA:FALSO/VERO- ZERO/UNO

L’ aritmetica è prima di tutto un linguaggio. Un insieme di simboli che non hanno riferimenti concreti particolari: il numero naturale tre, per esempio, può indicare tre mele, tre pere, il voto “tre” in un compito di latino, e così via.

L’ aritmetica è un insieme di segni e di regole per mettere i numeri in relazione( unione, sottrazione, divisione…) fra loro, ma il significato che essi di volta in volta assumono dipende da quanto noi gli attribuiamo.

Nulla ha impedito a Leibniz di attribuire pertanto al numero 1 il significato di “vero” e a “0” quello di falso. Questi due numeri, 1 e 0, sono anche le cifre dell’ aritmetica binaria.

0-1, corrente-non corrente, sono anche alla base del linguaggio dei moderni calcolatori digitali:ecco perché la logica con cui operano queste macchine non è in fondo che una logica matematica, anche se a livelli di complessità sempre diversi.

I computer, o elaboratori elettronici, funzionano secondo la logica binaria, perché i numerosissimi circuiti elettronici di cui sono composti possono ognuno assumere solo due stati corrispondenti al passaggio oppure al non passaggio di un impulso elettrico. Per questo motivo, i circuiti che compongono un computer sono anche denominati circuiti logici o porte logiche. I loro tipi fondamentali sono sei, quelli raffigurati nel disegno a destra con i relativi simboli usati dai progettisti.

Come si nota, essi hanno una o due entrate (A, B) e un’uscita (U) e le rispettive “tabelle di verità” è rappresentato con 1 il passaggio della corrente elettrica (VERO) e con 0 il non passaggio (FALSO).

Per esempio nella porta logica di tipo AND (“e”), corrispondente all’operazione di congiunzione fra proposizioni, perché si abbia un impulso in uscita (1) devono essere contemporaneamente presenti in entrata i due impulsi di ingresso (1, 1), altrimenti l’uscita è 0. Nella porta OR (“o”), invece, per avere un impulso in uscita (1), basta anche un solo impulso in entrata (1,0; 0, 1).

La porta NOT (“non”) a sua volta è un invertitore che dà come uscita il valore opposto, e così via.

1. Rappresentazione dei numeri in base diversa da 10.

La scelta del numero 10 come base per la nostra numerazione è dovuta a motivi di carattere culturale. Per trattare i numeri occorre un supporto fisico nel quale sia possibile memorizzarli.

Negli elaboratori elettronici il dispositivo fisico nel quale si segnano i numeri sono le memorie, che possono essere realizzate in vario modo. Ad esempio, un condensatore può essere carico oppure scarico, un elemento di superficie di un disco può essere magnetizzato oppure smagnetizzato, e così via. In tutti i casi, queste «celle» elementari dispongono di due stati fisici, ai quali vengono attribuiti convenzionalmente i valori di 0 e di 1. Queste sono le «cifre» di cui dispone l'elaboratore per eseguire la numerazione con la massima efficienza.

Il più piccolo elemento di informazione si chiama «bit» e può valere 0 oppure 1. L'informazione è costituita da molti bit disposti in sequenza. Per migliorare la comprensibilità da parte degli esseri umani, si possono considerare le cifre a gruppi e di qui scaturiscono le numerazioni ottale e esadecimale. Schematicamente:

1 bit: numerazione binaria	2 cifre: 0 1
3 bit: numerazione ottale	8 cifre: 0 1 2 3 4 5 6 7
4 bit: numerazione esadecimale	16 cifre: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

La numerazione decimale non è affatto comoda per l'elaboratore elettronico perché non può rientrare nello schema precedente. Provvedono alla conversione particolari programmi che vengono attivati all'accensione dell'elaboratore, senza i quali sarebbe impossibile un'interazione fra l'essere umano e la macchina.

2. La numerazione binaria.

Iniziamo a contare da 0, supponendo di avere a disposizione solo le cifre 0 e 1. Naturalmente possiamo sfruttare il principio posizionale della numerazione, cioè considerare più cifre accostate, ciascuna delle quali assume un valore dipendente dalla posizione occupata nella sequenza (nella numerazione decimale si hanno unità, decine, centinaia, eccetera).

Dopo aver contato 0 e 1, viene il «due» (scritto in parola perché non esiste una cifra che lo descrive): rappresentiamo questo numero con 10, cioè una «duina» e zero «unità». Proseguendo il conteggio si ha:

		0
		1
		10
		11
		100
		101
		110
		111
		...

Ogni volta che si incrementa di una unità, la cifra più a destra diventa 1 se era 0, mentre se era 1 diventa 0 e fa scattare la cifra adiacente, proseguendo con il riporto verso sinistra fino a che non si trova una cifra uguale a 0 (se necessario, allorché si incontra una posizione vuota la si interpreta come 0 e la si fa diventare 1).

La prossima tabella mostra i numeri da zero a nove, nella colonna di sinistra in forma decimale e in quella di destra in forma binaria:

numero decimale	numero binario
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001

Dunque, partendo da destra, le cifre di un numero in forma binaria rappresentano il numero di «unità», di «duine», di «quattrine», di «ottine», di «sedicine», e così via, che ogni volta può essere 0 oppure 1. In altri termini, ogni posizione indica la presenza o l'assenza di una quantità doppia di quella che le sta alla destra, cioè tali quantità sono espresse dalle potenze di due. Alcuni esempi:

potenza	numero decimale	numero binario
2⁰	1	1
2¹	2	10
2²	4	100
2³	8	1000
2⁴	16	10000
2⁵	32	100000
2⁶	64	1000000

eccetera (il comportamento è analogo a quello della numerazione decimale, dove però le posizioni corrispondono alle potenze di dieci).

Ad esempio, interpretiamo il numero binario 110101, ponendo sotto ciascuna cifra la relativa potenza (che corrisponde alla posizione della cifra nel numero dato):

1	1	0	1	0	1
2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰

Ciò mostra che è facile determinare il valore decimale di tale numero. Indicando con una X l'operazione di moltiplicazione, si ha:

Es. se abbiamo il numero binario 11001=(1×2⁴)+(1×2³)+(0×2²)+(0x×2¹)+(1×2º)=16+8+0+0+1=25 decimale

Per la conversione di un numero decimale in forma binaria conviene prima fare qualche altra considerazione sulle operazioni.

3. Operazioni con i numeri binari.

Per sommare fra loro due numeri binari qualsiasi, dopo averli scritti con l'incolonnamento corretto (le unità sotto le unità e così via andando da destra a sinistra), si somma tenendo conto che:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 con riporto di 1

Se c'è un riporto, esso va aggiunto alla colonna immediatamente a sinistra. In base alle due cifre presenti in tale colonna, tenendo conto del riporto 1, si hanno i seguenti casi:

· entrambe le cifre sono 0:
nel risultato si scrive 1 (senza ulteriore riporto);

· una cifra è 0 e l’altra è 1:
nel risultato si scrive 0 con riporto di 1;

· entrambe le cifre sono 1:
nel risultato si scrive 1 con riporto di 1.

Così si procede fino a quando le cifre di entrambi i numeri sono esaurite.

Per quanto riguarda la moltiplicazione, dedichiamo particolare attenzione solo alla moltiplicazione per le potenze di due (il procedimento di calcolo è del tutto simile a quello che si esegue con i numeri decimali).

Moltiplicare per due un numero scritto in forma binaria significa che le unità diventano «duine», queste diventano «quattrine» e così via: ciò significa spostare di un posto verso sinistra tutte le cifre, scrivendo 0 nella posizione delle unità.

Se invece si moltiplica per quattro (che è uguale alla potenza 2², cioè il numero binario 100) si spostano tutte le cifre verso sinistra di due posti; se si moltiplica per otto (cioè 2³, binario 1000) di tre posti, e così via. In generale la moltiplicazione per 2ⁿ (in forma binaria dato da 1 seguito da n zeri) consiste nello spostare le cifre di n posti verso sinistra, riempiendo con n zeri i posti lasciati vuoti.

Inversamente si può eseguire la divisione per una potenza di base due ed esponente n: si spostano tutte le cifre verso destra di n posti, le cifre eliminate sono il resto della divisione. Ad esempio, la divisione del numero binario 11010 per quattro dà come risultato 110 con resto «due».

La sottrazione pone un problema, collegato con la rappresentazione dei numeri negativi, per i quali occorre trovare il modo di rappresentare il segno «-».

4. Conversione da decimale a binario.

Dalle considerazioni precedenti si deduce che la cifra più a destra di un numero pari è sempre 0 e, di conseguenza, la cifra più a destra di un numero dispari è sempre 1.

Il procedimento per convertire in forma binaria un certo numero decimale n consiste nello scrivere, andando da destra verso sinistra, le cifre 0 oppure 1 determinate con le regole descritte qui di seguito:

se n è pari si scrive 0;
se n è dispari si scrive 1 e si sostituisce n con n-1;
essendo n pari (nel secondo caso lo è diventato), si divide n per due e si riprende il procedimento dal primo passo prendendo come n questo nuovo valore.

Dopo un certo numero di iterazioni si arriva a 0 e il procedimento ha termine.

Esempio. Scriviamo in forma binaria il numero decimale 171 (le operazioni nella parte sinistra sono fatte con numeri decimali; sulla destra scriviamo le cifre binarie che determiniamo progressivamente).

171 è dispari: 171-1=170 170 diviso 2 = 85	scriviamo 1
85 è dispari: 85-1=84 84 diviso 2 = 42	scriviamo 1
42 è pari: 42 diviso 2 = 21	scriviamo 0
21 è dispari: 21-1=20 20 diviso 2 = 10	scriviamo 1
10 è pari: 10 diviso 2 = 5	scriviamo 0
5 è dispari: 5-1=4 4 diviso 2 = 2	scriviamo 1
2 è pari: 2 diviso 2 = 1	scriviamo 0
1 è dispari: 1-1=0 (termine del procedimento)	scriviamo 1

Più sinteticamente:

171	1
85	1
42	0
21	1
10	0
5	1
2	0
1	1
0

Leggendo dal basso verso l'alto le cifre della colonna di destra, si ottiene che 171 decimale equivale a 10101011 binario.